Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3). Tập hợp các điểm

27/150

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right)\] và \[C\left( {0;0;3} \right)\]. Tập hợp các điểm \[M\left( {x,y,z} \right)\] thỏa mãn \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] là mặt cầu có bán kính

\[R = 2\]

\[R = \sqrt 2 \]

\[R = 3\]

Giải thích

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB: \[AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \]

+) Sử dụng đẳng thức \[M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\] suy ra phương trình mặt cầu (S) mà \[M \in \left( S \right)\]. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

Giải chi tiết:

\[\begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\\ \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(2 - y)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {(3 - z)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 1 = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4y - 6z + 13\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + 12 = 0( * )\end{array}\]

Điểm \[M\left( {x,y,z} \right)\] thỏa mãn phương trình (*) có dạng phương trình mặt cầu. Ta có a2+b2+c2-d⁢⁢ =(-1)2+22+32-12⁢⁢ =2⁢ >0 , do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu có bán kính \[R = \sqrt 2 \].

Chọn B.