Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A ( 10 ; 3 ; 0 ) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là → u = ( 2 ; − 2 ; 1 ) với tốc độ
33/54
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ \(4,5\)m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).
(a) Phương trình tham số của đường cáp là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
(b) Giả sử sau thời gian \(t\)(s) kể từ lúc xuất phát \(\left( {t \ge 0} \right)\) thì cabin đến điểm \(M\). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
(c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\), khi đó quãng đường \(AB\) dài 800 m.
(d) Đường cáp \(AB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(30^\circ \).
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
b) Đúng. Ta có \(AM = v.t = 4,5t\) và ta gọi \(M\left( {10 + 2m\,;\,\,3 - 2m\,;\,\,m} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \left( {2m;\, - 2m;\,m} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow u \) nên \(m\) dương.
Suy ra \(m = 1,5t\) nên \(M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Sai. Từ câu trên suy ra \(M \equiv B \Leftrightarrow 10 + 3t = 550 \Leftrightarrow t = 180\).
Khi đó: \(AB = vt = 4,5.t = 4,5.180 = 810\)mét.
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0\) nên ta có \(\overrightarrow n = \left( {0\,;\,0;\,1} \right)\).
Từ đó: \(\sin \alpha = \left| {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}} \right| = \frac{1}{3}\) nên \(\alpha \ne 30^\circ \).