a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

b) Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).

Suy ra b = 1; c = −1; d = −5. Do đó b + c + d = −5.

c) Gọi H = d ∈ (P).

Vì H ∈ d \( \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)\).

Mà H ∈ (P) nên 2 + 4t – 1 + t + t – 5 = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

M' là điểm đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM'. Khi đó \(M'\left( {\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).

d) Gọi N là giao điểm của △ và d.

Vì N ∈ d → N(1 + 2t; −1 + t; −t).

Có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right)\).

Vì △ ⊥ d nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 4t - 2 + t - 2 + t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1; - 4; - 2} \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow u \).

Đường thẳng MN đi qua M và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra a = −4; b = −2 → a + b = −6.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ O x y z điểm A ( 1 ; 1 ; 2 ) nằm trên mặt phẳng nào sau đây: