Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm M ( 0 ; − 1 ; 2 ) và hai đường thẳng d1 : (x − 1)/ 1 = (y + 2)/ − 1 = (z − 3)/ 2 , d2 : (x + 1)/ 2 = (y − 4)/ − 1 =( z − 2)/ 4 . Phương trình đường

39/49

Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và hai đường thẳng\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2},\)\({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{4}\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\), cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) là

\(\frac{x}{{ - \frac{9}{2}}} = \frac{{y + 1}}{{\frac{9}{2}}} = \frac{{z + 3}}{8}\).

\(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{4}\).

\(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).

\(\frac{x}{{ - 9}} = \frac{{y + 1}}{9} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).

Giải thích

Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng cần tìm.

\({\rm{\Delta }} \cap {d_1} = A\left( {{t_1} + 1; - {t_1} - 2;2{t_1} + 3} \right),{\rm{\Delta }} \cap {d_2} = B\left( {2{t_2} - 1; - {t_2} + 4;4{t_2} + 2} \right)\).

\(\overrightarrow {MA} = \left( {{t_1} + 1; - {t_1} - 1;2{t_1} + 1} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2{t_2} - 1; - {t_2} + 5;4{t_2}} \right)\).

Ta có \(M,A,B\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} + 1 = k\left( {2{t_2} - 1} \right)}\\{ - {t_1} - 1 = k\left( { - {t_2} + 5} \right)}\\{2{t_1} + 1 = 4k{t_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \frac{7}{2}}\\{k = - \frac{1}{2}}\\{k{t_2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \frac{7}{2}}\\{{t_2} = - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 9;9; - 16} \right)\).

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\), một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {9; - 9;16} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{{16}}\). Chọn C.