Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu S đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(-6; -12; 18)

24/30

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu \[\left( S \right)\] là

\[\left( {9;18; - 27} \right)\].

\[\left( { - 3; - 6;9} \right)\].

\[\left( {3;6; - 9} \right)\].

\[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].

Giải thích

Chọn D

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt là \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\] với \[a,b,c > 0\].

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} = - 6\\\frac{b}{3} = - 12\\\frac{c}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 18\\b = - 36\\c = 54\end{array} \right.\].

Gọi phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] cần tìm là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0\]. Vì \[\left( S \right)\] qua các điểm \[O,A,B,C\] nên ta có hệ:

\[\left\{ \begin{array}{l}q = 0\\36m + q = - {18^2}\\72n + q = - {36^2}\\ - 108p + q = - {54^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9\\n = - 18\\p = 27\\q = 0\end{array} \right.\].

Vậy tọa độ tâm mặt cầu \[\left( S \right)\] là \[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].