Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; - 2;3), B(3;5; - 4) và C(1;1; - 2). Gọi M là trung điểm BC. Góc

Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\):

\({x_M} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2,\quad {y_M} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{ - 4 - 2}}{2} = - 3 \Rightarrow M\left( {2;3; - 3} \right)\).

Tính các vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):

\(\overrightarrow {MA} = \left( {3 - 2; - 2 - 3;3 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1; - 5;6} \right)\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {3 - 2;5 - 3; - 4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {1;2; - 1} \right)\)

Tính cosin của góc \(\widehat {AMB}\) bằng công thức góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \):

\(\cos \widehat {AMB} = \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MB} } \right|}}\)

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 1 \cdot 1 + \left( { - 5} \right) \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 - 10 - 6 = - 15\).

Độ dài các đoạn thẳng:

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {1 + 25 + 36} = \sqrt {62} \)

\(\left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 4 + 1} = \sqrt 6 \)

Suy ra: \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {62} \cdot \sqrt 6 }} = \frac{{ - 15}}{{\sqrt {372} }}\).

Do đó \(\widehat {AMB} \approx 141^\circ \).

Đáp án: 141.