Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0; 2; -1), B(1; 0; 3), C(2; 4; 1) và (P): 2x + 3y - z + 5 = 0. Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA^2 + MB^2 + MC^2 n

74/235

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\]cho tam giác \[ABC\]có \(A(0;2; - 1);B(1;0;3);C(2;4;1)\) và \((P):2x + 3y - z + 5 = 0\). Gọi \(M(a,b,c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\] sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất. Giá trị biểu thức \(7({a^2} + {b^2} + {c^2})\) là:

\(42.\)

\(30.\)

\(13.\)

\(23.\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(G(1,2,1)\). Ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2}\)

\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Tổng trên nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên mặt phẳng \((P)\).

Do đó, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(MG\) là \(\vec n = (2,3, - 1)\).

Phương trình đường thẳng \(MG\) là \((MG):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Suy ra \(M = (MG) \cap (P),M = \left( { - \frac{5}{7}, - \frac{4}{7},\frac{{13}}{7}} \right)\).

Vậy \(7({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 30\).

Đáp án cần chọn là: B