Trong không gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A( {0;2; - 1}

37/234

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {0;2; - 1} \right);B\left( {1;0;3} \right);C\left( {2;4;1} \right)\) và \(\left( P \right):2x + 3y - z + 5 = 0\). Gọi \(M\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất. Giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) là:

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), thì \(G\left( {1,2,1} \right)\). Ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2}\)

\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Tổng trên nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Do đó, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(MG\) là \(\vec n = \left( {2,3, - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(MG\) là \(\left( {MG} \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Suy ra \(M = \left( {MG} \right) \cap \left( P \right),M = \left( { - 1, - 1,0} \right)\).

Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\).