Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(a; b; c) thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 9, B(m; n; p) thỏa mãn m^2 + n^2 + p^2 = 36.
Phương pháp giải:
Điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9 \Rightarrow A\) thuộc mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \({R_A} = 3\).
Điểm \(B\left( {m;n;p} \right)\) thỏa mãn \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 36 \Rightarrow B\) thuộc mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \({R_B} = 6\).
Giải chi tiết:
Từ giả thiết:
Điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9 \Rightarrow A\) thuộc mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \({R_A} = 3\).
Điểm \(B\left( {m;n;p} \right)\) thỏa mãn \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 36 \Rightarrow B\) thuộc mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \({R_B} = 6\).
a) \(A{B_{min}} = 3\): Đúng. Vì \(A,B\) nằm trên hai mặt cầu đồng tâm \(O\), khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là \(\left| {{R_B} - {R_A}\left| = \right|6 - 3} \right| = 3\).
b) Khi \(A{B_{min}}\), \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 12\): Sai.
Khi \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(A\) và \(B\) nằm cùng phía so với tâm \(O\) trên cùng một tia xuất phát từ \(O\).
Lúc đó, \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng, góc giữa chúng bằng .
Tích vô hướng: .