Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

44/233

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\\{x = 1 + 2t}\end{array}} \right.\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi và luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\left( {6;1;3} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi \(\left( P \right)\) thay đổi thì \(H\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

\(\sqrt 3 \).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\sqrt 5 \).

\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tam giác vuông có cạnh huyền là đường kính.

Lời giải

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\)

Và \(d\) có véctơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\)

\(I \in d \Rightarrow I\left( {3 + t;2t;1 + 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {t - 3;2t - 1;2t - 2} \right)\)

Mà \(AI \bot d \Rightarrow AI.\vec u = 0 \Rightarrow 1\left( {t - 3} \right) + 2\left( {2t - 1} \right) + 2\left( {2t - 2} \right) = 0 \Rightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( { - 2;1;0} \right) \Rightarrow AI = \sqrt 5 \).

Ta có \(\left( {AHI} \right) \bot d \Rightarrow \widehat {AHI} = {90^ \circ } \Rightarrow H\) thuộc đường tròn có đường kính \(AI\)

Vậy bán kính đường tròn là \(\frac{{AI}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).