Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng delta : x+ 1/ 1 = y -1 /4 / z= 1

22/22

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{z}{1}\]. Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {2;3; - 1} \right)\] và cắt đường thẳng \[\Delta \] tại hai điểm \[A\], \[B\] với \[AB = 16\]. Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính \({R^2}\).

Giải thích

Theo giả thiết, ta suy ra \[\Delta \] đi qua \[M\left( { - 1;1;0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\].

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(\Delta \).

Vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( { - 1 + t;1 - 4t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {t - 3\;;\; - 2 - 4t\;;\;t + 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {IH} \bot \overrightarrow u \) suy ra \(\overrightarrow {IH} \cdot \overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 1\left( {t - 3} \right) - 4\left( { - 2 - 4t} \right) + 1\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 18t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Suy ra \(H\left( { - \frac{4}{3};\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = IH = 2\sqrt 3 \].

Suy ra \[{R^2} = A{I^2} + I{H^2} = {8^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 76\]. Vậy \({R^2} = 76\).