Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): (x + 2)/2 = (y - 1)/2 = z/1 và mặt phẳng (P):x + y + z + 6 = 0

Tìm giao điểm \(M\): Chuyển phương trình \(d\) về dạng phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Thay vào phương trình \(\left( P \right)\): \(\left( { - 2 + 2t} \right) + \left( {1 + 2t} \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

Suy ra tọa độ điểm \(M\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\).

Tìm vectơ chỉ phương \({\vec u_{\rm{\Delta }}}\) của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\):

Do \({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow {\vec u_{\rm{\Delta }}} \bot {\vec n_P} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do \({\rm{\Delta }} \bot d \Rightarrow {\vec u_{\rm{\Delta }}} \bot {\vec u_d} = \left( {2;2;1} \right)\).

Suy ra: \({\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec u}_d}} \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1 \cdot 2 - 1 \cdot 1;1 \cdot 2 - 1 \cdot 2} \right) = \left( { - 1;1;0} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(M\left( { - 4; - 1; - 1} \right)\) có VTCP \({\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( { - 1;1;0} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 - t'\\y = - 1 + t'\\z = - 1\end{array} \right.\).

Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(N\left( {2;b;c} \right)\), thay hoành độ \(x = 2\) vào phương trình đường thẳng:

\(2 = - 4 - t' \Leftrightarrow t' = - 6\).

Từ đó tính được các tọa độ còn lại của \(N\): \(b = - 1 + \left( { - 6} \right) = - 7\) và \(c = - 1\).

Tích \(T = b \cdot c = \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 7\).

Đáp án: 7.