Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1)

89/235

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x - z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.\). Gọi \({d_1};{d_2}\) là các đường thẳng đi qua \(A\), nằm trong \(\left( P \right)\) và đều có khoảng cách đến đường thẳng \(d\) bằng \(\sqrt 6 \). Côsin của góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng

\(\frac{2}{3}\).

\(\frac{1}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) (ảnh 1)

Ta có: \({\vec n_P} = \left( {1;0; - 1} \right),{\vec u_{\rm{d}}} = \left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow d \bot \left( P \right)\) và \(d \cap \left( P \right) = M\left( {0;2; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {2; - 1;2} \right) \Rightarrow MA = 3\)

Gọi \(H;K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \({d_1}\) và \({d_2}\), ta có:

\(d\left( {{d_1};d} \right) = d\left( {M;{d_1}} \right) = MH,d\left( {{d_2};d} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right) = MK \Rightarrow MH = MK = \sqrt 6 \)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}\widehat {MAK} = {\rm{sin}}\widehat {MAH} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {2.\widehat {MAH}} \right)} \right| = \left| {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\widehat {MAH}} \right| = \left| {1 - \frac{4}{3}} \right| = \frac{1}{3}\).