Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3,3,-3) thuộc mặt phẳng (anpha)

17/40

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3,3,-3) thuộc mặt phẳng α:2x−2y+z+15=0 và mặt cầu S:x−22+y−32+z−52=100.

Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng α cắt S tại M,N. Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là

x+31=y−34=z+36.

x+316=y−311=z+3−10.

x=−3+5ty=3z=−3+8t.

x+31=y−31=z+33.

Giải thích

Mặt cầu S có tâm I2;3;5 và bán kính R=10.

Mặt phẳng α có vectơ pháp tuyến n→=2;−2;1.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ và mặt phẳng α.

⇒IK⊥α nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng α là x=2+2ty=3−2tz=5+t.

Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình x=2+2ty=3−2tz=5+t2x−2y+z+15=0⇒K−2;7;3.

Vì Δ⊂α nên IH≥IK. Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K.

Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.

Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và K. Ta có AK→=1;4;6.

Đường thẳng ∆ có phương trình là: x+31=y−34=z+36.

Chọn A.