Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) và D(0; 0; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: R2 = AB2 = (0 – 2)2 + (4 – 0)2 + 02 = 20.
Vậy phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B là: (x – 2)2 + y2 + z2 = 20.
b) Đúng. Gọi tâm I là trung điểm của BC => I(0; 2; 2).
Ta có: R2 = IB2 = (0 – 0)2 + (4 – 2)2 + (0 – 2)2 = 8.
Vậy phương trình mặt cầu với BC là đường kính có dạng khai triển là: x2 + y2 + z2 – 4y – 4z = 0.
c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right)\), \(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,4 - y;\,\, - z} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( {4 - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( { - z} \right) = 0\)
<=> x2 + y2 + z2 – 2x – 4y = 0.
<=>(x2 – 2x) + (y2 – 4y) + z2 = 0
<=> (x – 1)2 – 1 + (y – 2)2 – 4 + z2 = 0.
<=> (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 5.
Vậy bán kính R =\(\sqrt 5 \).
d) Đúng. Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + 4 = 0\\ - 8b + 16 = 0\\ - 8c + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\)
Do đó, tâm I(1; 2; 2), R2 = ID2 = 12 + 22 + 22 = 9.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 9.