Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; b ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; c ) với a , b , c > 0 . Biết rằng mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm M ( 1/5 ; 2/5 ; 3/5 ) và tiế

39/50

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c > 0\). Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{3}{5}} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + \left( {z - 3} \right) = 4\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)(nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta thấy \(A \in Ox,B \in Oy,C \in Oz\).

Ta có \(M \in \left( {ABC} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)\( \Rightarrow \)\(\frac{1}{{5a}} + \frac{2}{{5b}} + \frac{3}{{5c}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 5\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và \(R = 2\).

Ta có \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = R = \frac{{\left| {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{4}{{\sqrt P }} = 2 \Rightarrow P = 4\).

Đáp án cần nhập là: \(4\).