Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(5;6;-5) và M là điểm thuộc mặt phẳng

45/50

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A5;6;−5 và M là điểm thuộc mặt phẳng P:x+2y−z−4=0 đồng thời thuộc mặt cầu S:x−22+y−42+z2=62. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM.

36+214.

215.

17.

217.

Giải thích

Đáp án D

Mặt cầu S:x−22+y−42+z2=9 có tâm I2;4;0 và bán kính R=62.

Giao tuyến của (S) và (P) là một đường tròn (C) có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn (C).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(5;6;-5) và M là điểm thuộc mặt phẳng (ảnh 1)

Tâm J là hình chiếu vuông góc của I trên (P) ⇒IJ:x=2+ty=4+2tz=−t⇒J2+t;4+2t;−t

Cho J∈P⇒t+2+4t+8+t−4=0⇔t=−1⇒J1;2;1.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).

⇒AH:x=5+uy=6+2uz=−5−u⇒H5+u;6+2u;−5−u

Giải H∈P⇒u+5+4u+12+u+5−4=0⇒u=−3⇒H2;0;−2.

Ta có: AM2=AH2+HM2=54+HM2

Mặt khác HMmin=HM1=HJ−r trong đó HJ=14, r=R2−d2I;P=214

Suy ra AM=54+HM2 nhỏ nhất bằng 54+14−2142=217.