Trong không gian Õyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=10 và hai điểm A(1;2;-4) ;B(1;2;14) . Điểm M(a.b.c) là điểm nằm trên

56/62

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):(x−1)2+y2+(z−2)2=10 và hai điểm A(1;2;-4); B(1;2;14). Điểm M(a;b;c) là điểm nằm trên mặt cầu (S) sao cho P = MA + 2MB đạt GTNN. Khi đó a+b+c bằng:

741

2341

Giải thích

Chọn D

Phương pháp giải:

Gọi điểm C thỏa mãn MA = 2MC

GTNN của MA + 2MB là BC

Tìm giao của BC với mặt cầu, chính là điểm M cần tìm

Giải chi tiết:

Trong không gian Õyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=10 và hai điểm A(1;2;-4) ;B(1;2;14) . Điểm M(a.b.c) là điểm nằm trên (ảnh 1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;2) và bán kính R=10. Có

IA→=(0;2;−6);IA=22+62=210=2R

Gọi C là điểm thỏa mãn IC→=14IA→=(0;12;−32)⇒C(1;12;12)

Có IM2=IC. IA ⇒ΔIMC~ΔIAM (c. g.c)

⇒MAMC=IAIM=2⇒MA=2MC⇒MA+2MB=2(MB+MC)≥BC

Đẳng thức xảy ra khi M trùng M ' là giao của đoạn BC với (S)

M’ thuộc đoạn BC ⇔CM'→=kCB→=0;32k;272k(k>0)

⇔M'1;12+32k;12+272k. Ta có

M'∈(S)⇔IM'=10⇔0+12+32k2+272k−322=10
⇔k=13⇒M'(1;1;5).

Vậy a+b+c=7.