Trong không gian Oxyz với hệ trục tọa độ cho điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng  và tiếp xúc với 3 đường thẳng 

Đáp án D

Gọi mặt cầu S có tâm I là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh AB,BC,CA.

dI,AB=dI,BC=dI,AC.

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng ABC.

 M,P,C lần lượt là hình chiếu của H trên AB,BC,CA.

Ta có: ΔIHM=ΔIHN=ΔIHP (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).

 ⇒HM=HN=HP⇒H là điểm thuộc mặt phẳng ABC và cách đều 3 cạnh AB,BC,CA.

 ⇒H có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ΔABC.

Mà IH⊥ABC nên tập hợp điểm  I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của  ΔABC và vuông góc với mặt phẳng ABC⇒ có 4 đường thẳng như thế.

Ta có A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2⇒phương trình mặt phẳng ABC:x+y+z−2=0⇒ABC//α

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng α .

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.