Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; −3; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0, nên nhận vectơ đơn vị của trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxy) nên nhận \(\vec k\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua A(0; −3; 2) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0 \cdot t}\\{y =  - 3 + 0 \cdot t}\\{z = 2 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 3}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).

c) Sai. Giao điểm của ∆ và (Oxy) có cao độ z = 0. Thay z = 0 vào phương trình thứ ba ta được 2 + t = 0 => t = −2.

Tại t = −2, tọa độ giao điểm là (0; −3; 0), khác gốc tọa độ O(0; 0; 0).

d) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình x = 0. Dựa vào phương trình tham số của ∆, mọi điểm trên ∆ đều có hoành độ x = 0. Do đó ∆ nằm gọn trong mặt phẳng (Oyz).