Trong không gian Oxyz với đơn vị trên mỗi hệ trục là 1 mét, hai bức tường được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với sàn nhà là mặt phẳng Oxy. Hai điểm A(8;0;3) và B(0;6;5) là hai điểm

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\)tâm \(A\left( {8;0;3} \right)\), bán kính \[R = 6\]là: \[\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 36\]
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\)tâm \(B\left( {0;6;5} \right)\), bán kính \[R = 6\]là: \[\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\]
Giao của hai mặt cầu là một đường tròn nằm trên mặt phẳng vuông góc với đường nối tâm \(AB\)
Độ dài \(AB = \sqrt {{8^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {26} \)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\)(vì \(MA = MB = 6\)nên \(I\)là tâm đường tròn giao tuyến)\( \Rightarrow I\left( {4;3;4} \right)\)
Bán kính đường tròn giao tuyến \(r = MI = \sqrt {M{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\sqrt {26} } \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
Cao độ của\(M\)sẽ bằng cao độ của tâm \(I\) cộng với hình chiếu đứng của bán kính \(MI\). Để \({z_M}\)max, vectơ \(IM\)phải nằm trong mặt phẳng đứng chứa \(AB\).
Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(AB\)và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)
Ta có : \(\cos \alpha = \frac{{A'B'}}{{AB}}\)(với \(A',B'\)là hình chiếu của \(A,B\) xuống sàn)
Vậy \[A'B' = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{10}}{{2\sqrt {26} }} \Rightarrow {h_{\max }} = 4 + \sqrt {10} .\frac{{10}}{{2\sqrt {26} }} \approx 7,1\](m)