Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( 1 ; − 1 ; 5 ) và vuông góc với hai mặt phẳng ( Q ) : 3x + 2y − z = 0 , ( R ) : x + y − z = 0 .

Ta có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0\).