Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (alpha ) đi qua hai điểm A(3;1; - 1), B(2; - 1;4) và vuông góc với mặt phẳng

Gọi \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\).

\((\alpha )\) vuông góc với \((\beta )\) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha )\).

\((\alpha )\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) có giá nằm trong \((\alpha )\).

Hơn nửa \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha )\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: \( - 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.{\rm{ }}\)