Trong không gian Oxyz , tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn | x | + | y | + | z | ≤ 4 và | x − 4 | + | y | + | z | ≤ 4 là một khối đa diện có thể tích bằng
79/92
Trong không gian \(Oxyz\), tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 4\) và \(\left| {x - 4} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 4\) là một khối đa diện có thể tích bằng ______ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp án đúng là: 10,67
Phương pháp giải
Đưa về hình học và tịnh tiến đồ thị
Giải chi tiết
Ta có \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\\{}\\{}\\{}\\{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z \le 4}\\{x + y - z \le 4}\\{x - y + z \le 4}\\{x - y - z \le 4}\\{ - x + y + z \le 4}\\{ - x + y - z \le 4}\\{ - x - y + z \le 4}\\{ - x - y - z \le 4}\end{array}\)
Như vậy ta được hình bát diện đều (H) có cạnh bằng 4
Tương tự đối với \(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 4\) tức là tịnh tiến bát diện (H) sang phải 4 đơn vị
Giao tuyến của hai bát diện trên là 1 bát diện đều có
\(BH = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2,OD = \frac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {4^2}} = 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot BH \cdot {S_d} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot {(2\sqrt 2 )^2} = \frac{{32}}{3} = 10,67\)
Đáp án cần điền là: 10,67