Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A ( 2 ; 1 ; − 3 ) , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + 3z = 0 , ( R ) : 2x − y + z = 0 là

Chọn D

Mặt phẳng \((Q)\) có véctơ pháp tuyến là \({\vec n_Q} = (1;1;3)\).

Mặt phẳng \((R)\) có véctơ pháp tuyến là \({\vec n_R} = (2; - 1;1)\).

Vì mặt phẳng \((P)\) vuông góc với cả hai mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\) nên véctơ pháp tuyến của \((P)\) là \({\vec n_P}\) sẽ vuông góc với cả \({\vec n_Q}\) và \({\vec n_R}\).

Do đó, ta có thể chọn \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_Q},{{\vec n}_R}} \right]\)\( = (4;5; - 3)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;1; - 3)\) và có véctơ pháp tuyến \({\vec n_P} = (4;5; - 3)\) nên phương trình của \((P)\) là: \(4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z - ( - 3)) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y - 3z - 22 = 0\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).