Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt cầu (S): I ( 1;2;3)

19/22

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng\(\left( P \right):x + 2y - 2z + 4 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = a - 2b + c - d.\)

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = d\left( {I;P} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\) là:

\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 13 = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 3;d = 13 \Rightarrow P = - 13.\)