Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị trí A(1; 2; 6) hướng đến vị trí B(0; 2; 4), bia chắn là mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 8 0, đơn vị là km.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,4;\,\, - 10} \right)\).
Phương trình AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\end{array} \right.\).
Giao điểm M(x; y; z) của AB và (P) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\\2x - y + 2z + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{12}}{{13}}\\x = \frac{1}{{13}}\\y = \frac{{22}}{{13}}\\z = - \frac{{42}}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{{13}};\,\,\frac{{22}}{{13}};\,\, - \frac{{42}}{{13}}} \right)\).
\(\overrightarrow {AM} \left( { - \frac{{12}}{{13}};\,\,\frac{{48}}{{13}};\,\, - \frac{{120}}{{13}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\overrightarrow {AB} \).
Vậy viên đạn dừng lại ở bia chắn là mặt phẳng (P), không đi qua điểm B.
b) Sai. Thay tọa độ điểm B(0; 2; -4) vào phương trình (P): 2x – y + 2z + 8 = 0, ta có: 2×0 - 2 + 2×(-4) + 8 = -2 ¹ 0. Vậy điểm B không thuộc (P).
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxz) là H(1; 0; 6).
d) Sai. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là a
Ta có: \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 1;\,\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P), \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,\,4;\,\, - 10} \right)\).
sin a = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1 \cdot 2 + 4 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 10} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{9}\) => a 53°.