Đáp án: 2.

Giả sử cạnh bên \[AA' = BB' = CC' = h\].

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \)

\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} \)

\(\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {A'C'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \)

\( = 0 + BA \cdot AC \cdot \cos 120^\circ + \frac{1}{2}BB' \cdot AA' \cdot \cos 0^\circ + 0\)

Cho hình lăng trụ tam giác đề (ảnh 1)

\( = a \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}h \cdot h = - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{h^2}\).

Theo giả thiết: \(BM \bot AC' \Rightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC'} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{h^2} = \frac{1}{2}{a^2} \Leftrightarrow h = a\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,\left( {BCC'} \right)\) nên \({V_{M.BCC'}} = {V_{A.BCC'}}\) hay \({V_{M.BCC'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\).

Ta có \(MB = MC' = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},\,\,BC' = a\sqrt 2 \). Theo công thức Heron suy ra \({S_{MBC'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy khoảng cách cần tìm là \[d\left( {C,\left( {BMC'} \right)} \right) = \frac{{3{V_{CBMC'}}}}{{{S_{MBC'}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\].

Do \(a = 2\sqrt 2 \) nên \(d\left( {C,\left( {BMC'} \right)} \right) = 2\).

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x/ - 2 + y /- 1 + z/3 = 1 là