Trong không gian Oxyz, một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm A( - 2; -1 ;0)

19/22

Trong không gian $O x y z$ , một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A (- 2; - 1; 0), B (2; - 1; 0), C (0; 4; 0)$ , còn đầu dây kia được gắn với vật tại điểm $D (0; 0; - 4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(O x y)$ song song với mặt đất, trục $O z$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $15 N .$ Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật là bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Trong không gian Oxyz, một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm A( - 2; -1 ;0) (ảnh 1)

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 32,7

Gọi $\vec{T_{A}}, \vec{T_{B}}, \vec{T_{C}}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $D A, D B, D C$ . Gọi $P$ là trọng lượng của vật.

Trong không gian Oxyz, một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm A( - 2; -1 ;0) (ảnh 2)

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có phương trình: $\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}} + \vec{P} = \vec{0}$

Trọng lực $\vec{P}$ hướng xuống dưới theo trục $O z$ , nên $\vec{P} (0; 0 - p)$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \vec{D A} = (- 2; - 1; 4) \Rightarrow D A = \sqrt{21} \\ \vec{D B} = (2; - 1; 4) \Rightarrow D B = \sqrt{21} \\ \vec{D C} = (0; 4; 4) \Rightarrow D C = 4 \sqrt{2} \end{array}$

Khi đó véc tơ đơn vị ${\vec{u}}_{A}$ cùng hướng với sợi dây $D A$ được tính bằng cách lấy $\vec{D A}$ chia cho độ dài của chính nó. Tương tự có các véc tơ đơn vị của các sợi dây là:

$\begin{array}{l} \vec{u_{A}} = \frac{\vec{D A}}{D A} = \frac{1}{\sqrt{21}} (- 2; - 1; 4) \\ \vec{u_{B}} = \frac{\vec{D B}}{D B} = \frac{1}{\sqrt{21}} (2; - 1; 4) \\ \vec{u_{C}} = \frac{\vec{D C}}{D C} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} (0; 4; 4) \end{array}$

Mà một vectơ lực có thể được biểu diễn bằng tích của "độ lớn" và "vectơ đơn vị" chỉ hướng của nó, nên có:

${\begin{array}{l} \vec{T_{A}} = \frac{T_{A}}{D A} = \frac{T_{A}}{\sqrt{21}} (- 2; - 1; 4) \\ \vec{T_{B}} = \frac{T_{B}}{D B} = \frac{T_{B}}{\sqrt{21}} (2; - 1; 4) \\ \vec{T_{C}} = \frac{T_{C}}{D C} = \frac{T_{C}}{4 \sqrt{2}} (0; 4; 4) \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} T_{A} = T_{B} \\ T_{C} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} T_{A} \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} T_{A} = T_{B} \\ T_{C} < T_{A} \end{array}$

Chứng tỏ dây $D A$ và $D B$ sẽ chịu những lực căng lớn nhất $\Rightarrow T_{A} = T_{B} = 15 N$

$\Rightarrow T_{C} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} . 15 = \frac{30 \sqrt{2}}{\sqrt{21}}$

Vậy $\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}} + \vec{P} = \vec{0} \Rightarrow \vec{P} = - (\vec{T_{A}} + \vec{T_{B}} + \vec{T_{C}})$

$\Rightarrow - p = - (\frac{4 . T_{A}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{B}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{C}}{4 \sqrt{2}}) \Rightarrow p = \frac{8 . T_{A}}{\sqrt{21}} + \frac{4 . T_{C}}{4 \sqrt{2}} = \frac{8.15}{\sqrt{21}} + \frac{4}{4 \sqrt{2}} . \frac{30 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} = \frac{150}{\sqrt{21}} \approx 32, 7$

Vậy trọng lực tối đa của vật là $32, 7 (N)$ .