Trong không gian \[Oxyz\] (mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1 km), tại thời điểm 8 giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau:

19/22

Máy bay A: Đang ở vị trí \(M(0;0;9)\), bay thẳng đều theo hướng đến điểm \(N(1200;0;9)\) với tốc độ hành trình \({v_1} = 800\) km/h.

Máy bay B: Đang ở vị trí \(P(103; - 97;12)\), bay thẳng đều theo hướng đến điểm \(Q(703;103;12)\) với tốc độ hành trình \({v_2} = 200\sqrt {10} \) km/h.

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị: km).

Giải thích

Đáp án: \(5,2\)

+) \(\overrightarrow {MN} \left( {1200;0;0} \right)\). Vecto vận tốc \(\overrightarrow {{v_1}} \left( {800;0;0} \right)\).

Tọa độ máy bay A tại thời điểm \(t\): \(A(t) = (800t;0;9)\)

+) \(\overrightarrow {PQ} = (600;200;0)\). Vecto vận tốc của nó là: \({\vec v_2} = (600;200;0)\)

Tọa độ của máy bay B tại thời điểm \(t\): \(B(t) = (103 + 600t; - 97 + 200t;12)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} (t) = (103 - 200t;200t - 97;3)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là

\(f(t) = |\overrightarrow {AB} (t){|^2} = {(103 - 200t)^2} + {(200t - 97)^2} + {3^2}\)

\(f'(t) = - 41200 + 80000t + 80000t - 38800 = 160000t - 80000\)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow 160000t = 80000 \Leftrightarrow t = 0,5\) (giờ),

Tại thời điểm \(t = 0,5 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {3;3;3} \right)\).

Khoảng cách thực tế ngắn nhất là: \(d = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {27} \approx 5,1961...\)

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả: 5,2.