Trong không gian Oxyz, mặt đất là mặt phẳng Oxy
22/22
Trong không gian \(Oxyz\), mặt đất là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có hai trạm phát sóng trên không: trạm \(A\) đặt trên không tại vị trí \(A\left( {1;1;3} \right)\), trạm \(B\) đặt trên không tại vị trí \(B\left( {10;13;6} \right)\). Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu \(M\) và \(N\) sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: \(MN = 5\) và tổng chiều dài dây nối từ trạm \(A\) đến \(M\) và từ trạm \(B\) đến \(N\) là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm \(M\) và \(N\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: 9.
Gọi \(H = (1,1,0)\) và \(K = (10,13,0)\) là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(Oxy\).
Có \(S = AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} + \sqrt {36 + N{K^2}} \). Khi đó để \({S_{\min }}\) thì \(H,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.
Ta có: \(\overrightarrow {HK} = (9,12,0)\); \(|\overrightarrow {HK} | = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\).
Do \(MN = 5\), nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{5}{{15}}\overrightarrow {HK} = (3,4,0)\).
Gọi \(A'\left( {1;1; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\left( {1;1;3} \right)\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(C\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {MN} \). Suy ra \(C\left( {4;5; - 3} \right)\) và \(A'CNM\) là hình bình hành.
Có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'M\\A'M = CN\end{array} \right.\) suy ra \(AM = CN\).
Khi đó: \(S = AM + BN = CN + BN \ge BC\). Dấu “=” xảy ra khi \(B,N,C\)thẳng hàng.
Có\(\overrightarrow {BC} = \left( {6;8;9} \right)\), phương trình đường thẳng \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 6t\\y = 13 + 8t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\).
Vì \(N = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) nên \(6 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow N\left( {6;\frac{{23}}{3};0} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;4;0} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}6 - {x_M} = 3\\\frac{{23}}{3} - {y_M} = 4\\{z_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = 0\end{array} \right.\] suy ra \[M\left( {3;\frac{{11}}{3};0} \right)\].
Vậy \[{x_M} + {x_N} = 9\].