Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm là I ( 1;1;-2)

21/22

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \[I\left( {1;1; - 2} \right)\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\] . Tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm )

Giải thích

Gọi \[H\left( {2t;3t - 1; - t + 4} \right) \in \left( d \right)\] là điểm tiếp xúc của mặt cầu và đường thẳng \[\left( d \right)\]

Khi đó \[\overrightarrow {IH} = \,\left( {2t - 1;\,3t - 2;\, - t + 6} \right)\]

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\] có VTCP \[\overrightarrow u \,\left( {2;3; - 1} \right)\]

Nên \[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 3\left( {3t - 2} \right) - ( - t + 6) = 0 \Leftrightarrow t = 1\]

Hay \[\overrightarrow {IH} = \left( {1;1;5} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {27} \]

Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27\].

Suy ra bán kính mặt cầu là \[R = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \approx 5,2\].