Trong không gian Oxyz, mặt cầu qua bốn điểm A(5; 3; 3), B(1; 4; 2), C(2; 0; 3), D(4; 4; −1), có phương trình là (x − a)^2 + (y − b)^2 + (z − c)^2 = R^2. Giá trị a + b + c bằng.

Đáp án: 6

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\).

Khi đó: \(AI = BI = CI = DI \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\\{A{I^2} = D{I^2}}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết:

Cách 1:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\)

\( \Rightarrow \left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + e = 0\) (với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - e > 0\)).

Ta có hệ phương trình khi thay tọa độ 4 điểm \(A,B,C,D\) vào phương trình mặt cầu:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \in \left( S \right)}\\{B \in \left( S \right)}\\{C \in \left( S \right)}\\{D \in \left( S \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10a + 6b + 6c - e = 43}\\{2a + 8b + 4c - e = 21}\\{4a + 6c - e = 13}\\{8a + 8b - 2c - e = 33}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 2}\\{c = 1}\\{e = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6\).

Cách 2:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\).

Khi đó: \(AI = BI = CI = DI \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\\{A{I^2} = D{I^2}}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8a - 2b + 2c = 22}\\{6a + 6b = 30}\\{2a - 2b + 8c = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 2}\\{c = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6\).