Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A(-1; -1; 0), B(1; -1; -2), C(-3; -1; -2), D(-1; 1; -2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4\\{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} + 4c + 4\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 4c + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c =  - 2\end{array} \right.\].

Do đó, I(-1; -1; -2), R² = IA² = (-1 + 1)² + (-1 + 1)² + (-2 – 0)² = 4.

Vậy phương trình cần tìm là: (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4.