Trong không gian Oxyz, △ là đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 2), vuông góc với đường thẳng d 1 : x − 1 2 = y + 1 − 1 = z − 4 − 1 , đồng thời tạo với đường thẳng

18/20

Trong không gian Oxyz, △ là đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 2), vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\), đồng thời tạo với đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) một góc lớn nhất. Biết phương trình đường thẳng  có dạng \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{a} = \frac{{z - 2}}{b}\). Tính \({a^2} + {b^2}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \).

Do \(0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ \) mà theo giả thiết  tạo d₂ góc lớn nhất nên \(\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).

Lại có △ ⊥ d₁ nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \). Do đó chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).

Ta có phương trình đường thẳng △ là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vậy a = 5; b = 3 → \({a^2} + {b^2} = 34\).

Trả lời: 34.