Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d:(x - 2)/1 = y - 1/2 = z/- 1 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d

9/35

Trong không gian \[Oxyz\], gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\] và cắt các trục \[Ox\], \[Oy\] lần lượt tại \[A\] và \[B\] sao cho đường thẳng \[AB\] vuông góc với \[d\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

\[x + 2y + 5z - 5 = 0\].

\[x + 2y + 5z - 4 = 0\].

\[x + 2y - z - 4 = 0\].

\[2x - y - 3 = 0\].

Giải thích

Lời giải

Ta có \[{\vec u_d} = \left( {1;2; - 1} \right)\], \[\left\{ \begin{array}{l}A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;0;0} \right)\\B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right)\].

Theo đề bài \[AB \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot {\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow - a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = 2b \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2b;b;0} \right)\].

\[ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 2;1;0} \right)\] là một VTCP của \[AB\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\vec u = \left( { - 2;1;0} \right)\\{{\vec u}_d} = \left( {1;2; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\vec u,{{\vec u}_d}} \right] = \left( { - 1; - 2; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;2;5} \right)\] là một VTPT của \[\left( P \right)\].

Kết hợp với \[\left( P \right)\] qua \[M\left( {2;1;0} \right) \in d \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 5z = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 4 = 0\]. Chọn B.