Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\).

Khi đó, \(M\left( {2; - 3;0} \right),N\left( {2;0;1} \right),P\left( {0; - 3;1} \right)\).

\(\overrightarrow {MN} = \left( {0;3;1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;0;1} \right)\).

\(\left( {MNP} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3; - 2;6} \right)\).

Mặt khác, \(\left( {MNP} \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 3;0} \right)\) nên có phương trình là:

\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 3} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(3x - 2y + 6z - 12 = 0\).

Suy ra \(a = 3;b = - 2;c = 6\). Do đó \(a + b + c = 7\).