Trong không gian Oxyz, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0, song song với mặt phẳng (Q): x − y + 2z − 1 = 0 và đi qua điểm A(2; 2; −1). Biết d cắt mặt phẳng tọa độ (Oyz)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,33

Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Q) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến trên:

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 1; - 2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; −1) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Giao điểm B của d với mặt phẳng (Oyz) có hoành độ x = 0. Thay vào phương trình đầu tiên ta giải được:2 + 3t = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).

Thay t vào biểu thức của y và z để tính hiệu y₀-z₀ một mạch như sau:

\({y_0} - {z_0} = \left( {2 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) - \left( { - 1 - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,33\).