Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1) và song song với đường thẳng Delta: (x – 2)/(- 1) = y/3 = (z + 1)/2. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Do đường thẳng d // D; d nhận vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\) của \(\Delta \) làm một vectơ chỉ phương.

Ta nhận thấy \(\vec u = - 2\vec v = \left( {2; - 6; - 4} \right)\) nên \(\vec u\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

b) Sai. Phương trình chính tắc của d đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).

Thay tọa độ O(0; 0; 0) vào phương trình này ta được \(\frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 + 1}}{2}\)Û\(1 \ne \frac{{ - 2}}{3} \ne \frac{1}{2}\). Do đó d không đi qua gốc tọa độ O.

c) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình là z = 0, do đó mọi điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) đều có cao độ z = 0.

d) Đúng. Dựa vào điểm đi qua M(1; 2; −1) và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\), ta có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{2}\)Û\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).