Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(−4; 5; −2) và có vectơ chỉ phương vec u =(1; - 2;2). Gọi K là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) lên đường thẳng d. Tính tổng ba

Đáp án: 1

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−4; 5; −2) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Điểm K nằm trên d nên tọa độ của K có dạng (−4 + t; 5 − 2t; −2 + 2t).

Vectơ nối từ gốc tọa độ O đến K là \(\overrightarrow {OK} = \left( { - 4 + t;5 - 2t; - 2 + 2t} \right)\).

Vì K là hình chiếu vuông góc của O lên d nên vectơ \(\overrightarrow {OK} \) phải vuông góc với vectơ chỉ phương \(\vec u\).

Ta thiết lập phương trình tích vô hướng:

\(\overrightarrow {OK} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 1\left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {5 - 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0\)

<=>-4 + t – 10 + 4t – 4 + 4t = 0 <=> t = 2.

Thay giá trị t = 2 vào tọa độ điểm K, ta tính được các tọa độ:

x = −4 + 2 = −2; y = 5 − 2 · 2 = 1; z = −2 + 2 · 2 = 2.

Vậy tọa độ của K là (−2; 1; 2).

Tổng ba tọa độ của điểm K là −2 + 1 + 2 = 1.