Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + 3 = 0. Có một điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến M bằng 6 và

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Vì điểm M nằm trên d nên tọa độ của M có dạng M(1 + t; 1 + 2t; 1 − 2t).

Vectơ nối hai điểm là \(\overrightarrow {AM}  = \left( {t;2t; - 2t} \right)\).

Theo giả thiết, khoảng cách AM = 6. Ta thiết lập phương trình độ dài:

\(\sqrt {{t^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2}}  = 6 \Leftrightarrow 3\left| t \right| = 6 \Rightarrow \left| t \right| = 2\)

Giải ra ta được t = 2 hoặc t = −2.

Nếu t = 2, hoành độ của M là x = 1 + 2 = 3 (số dương, thỏa mãn).

Nếu t = −2, hoành độ của M là x = 1 + (−2) = −1 (loại).

Vậy hoành độ của điểm M bằng 3.