Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(2;−1;4). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ són
16/22
Trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I\left( {2;\, - 1;\,4} \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(5\)km
Phương trình mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng trong không gian là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 8z - 4 = 0\)
Một người dùng điện thoại đứng ở vị trí \(A\left( {4;3;6} \right)\) nằm ngoài vùng phủ sóng nên không thể sử dụng dịch vụ của trạm
Vùng phủ sóng của trạm trên mặt đất (giả sử là mặt phẳng \(Oxy\)) là một hình tròn có diện tích bằng \(25\pi \) (km2)
Một chiếc flycam bay theo đường thẳng từ điểm \(M(2; - 7;1)\) đến điểm \(N(2;5;1)\). Quãng đường bay mà flycam nhận được tín hiệu sóng của trạm dài \(8\)km
Xét mệnh đề a)
Phương trình mặt cầu có dạng:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 2y + 1 + {z^2} - 8z + 16 = 25\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 8z - 4 = 0\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách từ \(I\) đến \(A\) là \(IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {24} < \sqrt {25} \) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt đất \(\left( {z = 0} \right):d\left( {I;z} \right) = \left| 4 \right| = 4 \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\)
Khi đó diện tích hình tròn giao tuyến : \(S = \pi {r^2} = \pi {.3^2} = 9\pi \)(km2) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Phương trình đường thẳng \(MN\) đi qua \(M\left( {2; - 7;1} \right)\) và nhận một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;12;0} \right) = \left( {0;1;0} \right)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 7 + t}\\{z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và mặt cầu:
\({\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( { - 7 + t + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 4} \right)^2} = {5^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2\,\,}\\{t = 10}\end{array}} \right.\).
Lúc ấy, điểm đầu và cuối mà Flycam cắt mặt cầu là :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}\left( {2; - 5;1} \right)}\\{{A_2}\left( {2;3;1} \right)\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow {A_1}{A_2} = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 8\) (km) nên mệnh đề d) đúng