Trong không gian Oxyz ( đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngôi nhà (xem hình vẽ) có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng ( α ) : y − z − 5 = 0 . Hai mái nhà (coi như là hai phần mặt phẳng) lần

Đáp án: 6,36

Vecto pháp tuyến của \(mp(P)\) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2; - 3;1)\)

Vecto pháp tuyến của \(mp(Q)\)là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (2;1; - 3)\)

Vecto pháp tuyến của \(mp(\alpha )\)là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (0;1; - 1)\)

Ta coi nóc nhà là một đường thẳng \(\Delta \) thì đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của \(mp(P)\) và \(mp(Q)\), Lại có \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (8;8;8)\) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = (1;1;1)\)

Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\), suy ra đường nóc nhà song song với mặt phẳng chứa nền nhà.

Ta cũng có \(M( - 3; - 4;0)\)là một giao điểm của \(mp(P)\) và \(mp(Q)\)do đó \(M( - 3; - 4;0)\)thuộc \(\Delta \).

Do đó chiều cao của ngôi nhà chính là khoảng cách từ \(M( - 3; - 4;0)\)đến \((\alpha ):y - z - 5 = 0\)

Vậy chiều cao ngôi nhà là: \(h = d(M,(\alpha )) = \frac{{\left| {0.( - 3) + 1.( - 4) - 0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} \approx 6,36(m)\).