Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục là mét), mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Oz thẳng đứng hướng lên cao, một trạm radar tại gốc O(0;0;0) phát hiện một tên lửa lạ (tên lửa A)

16/22

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét), mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt đất, trục \(Oz\) thẳng đứng hướng lên cao, một trạm radar tại gốc \(O(0;0;0)\) phát hiện một tên lửa lạ (tên lửa A) được phóng lên tại thời điểm \(t = 0\) giây. Vị trí của tên lửa A sau \(t\) giây kể từ lúc phát hiện được xác định bởi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 300t}\\{y = 400t}\\{z = - 2{t^2} + 80t}\end{array}} \right.\). Để bảo vệ vùng trời, hệ thống phòng thủ tại vị trí \(I(5600;6500;0)\) quyết định phóng một tên lửa đánh chặn (tên lửa B). Tên lửa B bay theo quỹ đạo đường thẳng với tốc độ không đổi \({v_B} = 200\) m/s. Phương án đánh chặn được thiết lập là bắn phá hủy tên lửa A ngay khi nó đạt độ cao lớn nhất.

Đường đi của tên lửa A luôn nằm trong mặt phẳng cố định \[(P):4x - 3y = 0\].

ĐúngSai

Tên lửa A đạt vị trí cao nhất khi \(t = 20\).

ĐúngSai

Để tên lửa B bắn trúng mục tiêu ngay khi nó đạt độ cao lớn nhất, nòng pháo cần điều chỉnh hướng bắn chuẩn xác, khi đó góc nâng nòng pháo so với mặt đất góc \(\alpha \) nhỏ hơn \(27^\circ \).

ĐúngSai

Để va chạm xảy ra đúng lúc tên lửa A đạt độ cao lớn nhất, chỉ huy tại căn cứ \(I\) cần nhấn nút khai hỏa vào thời điểm \(11,3\) giây, tính từ lúc tên lửa A bắt đầu rời bệ phóng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của giây).

ĐúngSai

Giải thích

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) Từ hệ phương trình chuyển động của tên lửa A, ta có:

\(x = 300t \Rightarrow t = \frac{x}{{300}}\)

\(y = 400t \Rightarrow t = \frac{y}{{400}}\)

Suy ra: \(\frac{x}{{300}} = \frac{y}{{400}} \Leftrightarrow 400x = 300y \Leftrightarrow 4x - 3y = 0\).

Phương trình này đúng với mọi \(t\), chứng tỏ tên lửa A luôn nằm trong mặt phẳng \((P):4x - 3y = 0\).

b) Độ cao của tên lửa A được xác định bởi cao độ \(z(t) = - 2{t^2} + 80t\).

Đây là một parabol bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{80}}{{2( - 2)}} = 20\) (giây).

Khi đó, độ cao cực đại là \(z(20) = - 2{(20)^2} + 80(20) = 800\) (m).

c) Tại thời điểm \(t = 20\), tọa độ của tên lửa A là \(M(6000;8000;800)\).

Vị trí tên lửa B được phóng từ \(I(5600;6500;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM} = (6000 - 5600;8000 - 6500;800 - 0) = (400;1500;800)\).

Hình chiếu của \(M\) xuống mặt đất \((Oxy)\) là \(M\prime (6000;8000;0)\).

Vectơ \(\overrightarrow {IM\prime } = (400;1500;0)\).

Độ dài \(IM\prime = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2}} = 100\sqrt {{4^2} + {{15}^2}} = 100\sqrt {241} \approx 1552,4\) (m).

Góc nâng \(\alpha \) thỏa mãn: \(\tan \alpha = \frac{{MM\prime }}{{IM\prime }} = \frac{{800}}{{100\sqrt {241} }} = \frac{8}{{\sqrt {241} }} \approx 0,5153\).

\( \Rightarrow \alpha \approx 27,26^\circ \).

Vì \(27,26^\circ > 27^\circ \) nên mệnh đề nói "nhỏ hơn \(27^\circ \)" là Sai.

d) Khoảng cách từ điểm phóng \(I\) đến điểm va chạm \(M\) là:

\(IM = \sqrt {{{400}^2} + {{1500}^2} + {{800}^2}} = \sqrt {160000 + 2250000 + 640000} = \sqrt {3050000} = 100\sqrt {305} \) (m).

Thời gian tên lửa B cần để bay từ \(I\) đến \(M\) với vận tốc \({v_B} = 200\) m/s là:

\({t_B} = \frac{{IM}}{{{v_B}}} = \frac{{100\sqrt {305} }}{{200}} = \frac{{\sqrt {305} }}{2} \approx 8,732\) (giây).

Để tên lửa B gặp tên lửa A đúng lúc \(t = 20\) giây, thời điểm cần khai hỏa tên lửa B là:

\({t_{kh}} = 20 - 8,732 = 11,268 \approx 11,3\) (giây).