a) Đúng. Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục tung \(Oy\). Do đó, mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)\).

b) Sai. Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh vuông góc với trục \(Oy\), nên phương trình của nó có dạng \(y = c\).

Vì điểm \(B\left( {4032;0; - 5376} \right)\) nằm trên quỹ đạo, nên \(B\) cũng nằm trên mặt phẳng này.

Thay tọa độ \(B\) vào phương trình \(y = c\), ta được \(0 = c\).

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là \(y = 0\).

c) Đúng. \(OB = \sqrt {{{\left( {4032 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5376 - 0} \right)}^2}} = 6720\;{\rm{km}}\).

Vì quỹ đạo của vệ tinh là một đường tròn có bán kính \({R_S} = 13440\;{\rm{km}}\), và \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo, đồng thời tâm quỹ đạo \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\).

Ta có \(IB = {R_S} = 13440\;{\rm{km}}\).

Vì \(B\) là điểm gần Trái Đất nhất, nên \(O\) phải nằm giữa \(I\) và \(B\).

Do đó, \(IB = IO + OB\)\( \Leftrightarrow 13440 = IO + 6720 \Rightarrow IO = 6720\;{\rm{km}}\).

Vì \(I\) nằm trên đường thẳng \(OB\) và \(IO = OB\), nhưng \(O\) nằm giữa \(I\) và \(B\), nên \(I\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\).

Vậy tọa độ tâm quỹ đạo là \(I\left( { - 4032;0;5376} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là \(\overrightarrow {AI} = (2; - 1;2)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và \(A\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4032 + 2t}\\{y = - t}\\{z = 5376 + 2t}\end{array}} \right.\)

d) Sai. Quỹ đạo vệ tinh là đường tròn tâm \(I\left( { - 4032;0;5376} \right)\), bán kính \({R_S} = 13440\;{\rm{km}}\), nằm trong mặt phẳng \(y = 0\).

Gọi \(K'\left( {0;0;5120} \right)\) là hình chiếu của \(K\) lên mặt phẳng \(y = 0\).

Khoảng cách từ \(K\) đến mặt phẳng \(y = 0\) là \(KK' = \left| {{y_K}} \right| = 3840\;{\rm{km}}\).

Khoảng cách từ \(K'\) đến tâm quỹ đạo \(I\):\(IK' = \sqrt {{{\left( { - 4032 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5376 - 5120} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow IK' = \sqrt {16322560} \approx 4040,12\;{\rm{km}}\)\( < {R_S} = 13440\;{\rm{km}}\), điểm \(K'\) nằm bên trong đường tròn quỹ đạo.

Khoảng cách ngắn nhất từ \(K'\) đến đường tròn quỹ đạo là

\({d_{min}} = {R_S} - IK' = 13440 - \sqrt {16322560} \approx 9399,88\;{\rm{km}}\).

Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam \(K\) là:

\(d = \sqrt {K{{K'}^2} + {d^2}_{min}} \)\( = \sqrt {{{3840}^2} + {{\left( {13440 - \sqrt {16322560} } \right)}^2}} \)\( \approx 10153,98278\;{\rm{km}}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được \(10154\;{\rm{km}}\).

Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng với điểm A(1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là