Trong không gian Oxyz, cho vectơ

8/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho vectơ \(\vec u = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right),\,\,\vec v = \left( {1;0;m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \[60^\circ \]?

Giải thích

Chọn D

Ta có: \(\left( {\vec u,\vec v} \right) = 60^\circ \)

\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\) và \(\left| {\vec v} \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} = \sqrt {1 + {m^2}} \).

Tích vô hướng \(\vec u.\vec v = 1 - m\sqrt 2 \).

Khi đó: \(\cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{{\vec u.\vec v}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{1 - m\sqrt 2 }}{{2\sqrt {1 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{1 - m\sqrt 2 }}{{2\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( {1 - m\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt {1 + {m^2}} \)

\[ \Leftrightarrow 1 - m\sqrt 2 = \sqrt {1 + {m^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m\sqrt 2 \ge 0\\{\left( {1 - m\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\1 - 2m\sqrt 2 + 2{m^2} = 1 + {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\{m^2} - 2m\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\sqrt 2 \].

Vậy có \(1\) giá trị \(m\).