Trong không gian Oxyz. Cho tứ diện đều ABCD có A(0; 1; 2) và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng BCD là H(4; -3; -2). Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

23/30

Trong không gian \(Oxyz\). Cho tứ diện đều \(ABCD\) có \(A\left( {0;\,1;\,2} \right)\) và hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(H\left( {4;\, - 3;\, - 2} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

\(I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).

\(I\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).

\(I\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).

\(I\left( { - 3;\, - 2;\,1} \right)\).

Giải thích

Chọn A

Gọi \(I\left( {a;\,b;\,c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( { - a;\,1 - b;\,2 - c} \right);\,\overrightarrow {IH} = \left( {4 - a;\, - 3 - b;\, - 2 - c} \right)\)

\(ABCD\) là tứ diện đều nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - 3\overrightarrow {IH} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 3\left( {4 - a} \right)\\1 - b = - 3\left( { - 3 - b} \right)\\2 - c = - 3\left( { - 2 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).