Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD. Biết tọa độ hai điểm A(1;1;1),B(1;3;1), điểm C nằm

122/234

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD. Biết tọa độ hai điểm \[A(1;1;1),B(1;3;1),\] điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng Oxy và có hoành độ dương, điểm \(D\) có cao độ dương. Biết tọa độ điểm \(D\) là \[D(1 + \sqrt a ;{\mkern 1mu} b;{\mkern 1mu} c),\] với a, b, c là các số nguyên.

Tính giá trị của biểu thức \[T = a + b + c.\]

(Nhập đáp án vào ô trống.)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải: Sử dụng các điều kiện của tứ diện đều.

Giải chi tiết:

Do \(C\) nằm trên mặt phẳng Oxy, có hoành độ dương và thỏa mãn:

\[CA = CB = AB = 2,\]

nên tọa độ \(C(x,y,0)\) là nghiệm của hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} = 4,}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4,}\\{x > 0.}\end{array}} \right.\]

Giải hệ được:

\[C(1 + \sqrt 2 ;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 0).\]

Do \(D\) có cao độ dương và thỏa mãn:

\[DA = DB = DC = AB = 2,\]

nên tọa độ \(D\) là nghiệm của hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4,}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4,}\\{{{(x - 1 - \sqrt 2 )}^2} + {{(y - 2)}^2} + {z^2} = 4,}\\{z > 0.}\end{array}} \right.\]

Giải hệ suy ra:

\[D(1 + \sqrt 2 ;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} \sqrt 2 ).\]

Suy ra:

\[a = 2,\quad b = 2,\quad c = 2\; \Rightarrow \;T = a + b + c = 6.\]