Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD. Biết toạ độ của 2 điểm A, B là A (1;1;1), B (1;3;1), điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy và có hoành độ dương

109/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho tứ diện đều \(ABCD.\) Biết toạ độ của \(2\) điểm \(A, B\) là \(A\left( {1;1;1} \right), B\left( {1;3;1} \right),\) điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \[Oxy\] và có hoành độ dương, điểm \(D\) có cao độ dương. Biết toạ độ của điểm \(D\) là \(D(1 + \sqrt a ,b,c),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c.\) (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

Do điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \[Oxy\] có \(x > 0\) và \(CA = CB = AB = 2\) nên tọa độ \(C\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4}\\{x > 0,z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 2 }\\{y = 2}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow C(1 + \sqrt 2 ;2;0){\rm{.}}\)

Do \(D\) có cao độ dương và \[{\rm{DA = DB = DC = AB = 2}}\] nên tọa độ \(D\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 3)}^2} + {{(z - 1)}^2} = 4}\\{{{(x - 1 - \sqrt 2 )}^2} + {{(y - 2)}^2} + {z^2} = 4}\\{z > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 2 }\\{y = 2}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow D(1 + \sqrt 2 ;2;2){\rm{.}}\)

Đối chiếu với \(D(1 + \sqrt a ,b,c) \Rightarrow a = 2,b = 2,c = 2\)

Khi đó, \(T = a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6.\)

Đáp án: \(6.\)