Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6), D(5; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).

14/25

(x – 5)² + y² + (z – 4)² =\(\frac{2}{{223}}\).

(x – 5)² + y² + (z – 4)² =\(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).

(x + 5)² + y² + (z + 4)² =\(\frac{8}{{223}}\).

(x – 5)² + y² + (z – 4)² =\(\frac{8}{{223}}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 5;\,\,1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,\, - 6;\,\,4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 14;\,\, - 13;\,\, - 9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

=>\(\overrightarrow n = \left( {14;\,\,13;\,\,9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

=> (ABC): 14(x – 1) + 13(y – 6) + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 110 = 0.

=> R = d(D; (ABC)) =\(\frac{{\left| {14 \cdot 5 + 13 \cdot 0 + 9 \cdot 4 - 110} \right|}}{{\sqrt {{{14}^2} + {{13}^2} + {9^2}} }}\)=\(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 5)² + y² + (z – 4)² =\(\frac{8}{{223}}\).